Trang chủ   Sản phẩm   Phần mềm Dành cho nhà trường   Phần mềm Hỗ trợ học tập   Kho phần mềm   Liên hệ   Đăng nhập | Đăng ký

Tìm kiếm

School@net
Bảng giá phần mềm
Educations Software

Đại Lý - Chi Nhánh

Bản tin điện tử
 
Đăng nhập/Đăng ký
Bí danh
Mật khẩu
Mã kiểm traMã kiểm tra
Lặp lại mã kiểm tra
Ghi nhớ
 
Quên mật khẩu | Đăng ký mới

 
Giỏ hàng

Xem giỏ hàng


Giỏ hàng chưa có sản phẩm

 
Xem bài viết theo các chủ đề hiện có
  • Hoạt động của công ty (701 bài viết)
  • Sản phẩm mới (217 bài viết)
  • Dành cho Giáo viên (552 bài viết)
  • Lập trình Scratch (3 bài viết)
  • Mô hình & Giải pháp (155 bài viết)
  • IQB và mô hình Ngân hàng đề kiểm tra (126 bài viết)
  • Hỗ trợ khách hàng (482 bài viết)
  • TKB và bài toán xếp Thời khóa biểu (242 bài viết)
  • Học tiếng Việt (182 bài viết)
  • Thông tin khuyến mại (80 bài viết)
  • Download - Archive- Update (289 bài viết)
  • Các Website hữu ích (71 bài viết)
  • Cùng Học (98 bài viết)
  • Learning Math: Tin học hỗ trợ học Toán trong nhà trường (74 bài viết)
  • Thông tin tuyển dụng (55 bài viết)
  • School@net 15 năm (153 bài viết)
  • Mỗi ngày một phần mềm (7 bài viết)
  • Dành cho cha mẹ học sinh (123 bài viết)
  • Khám phá phần mềm (122 bài viết)
  • GeoMath: Giải pháp hỗ trợ học dạy môn Toán trong trường phổ thông (36 bài viết)
  • Phần mềm cho em (13 bài viết)
  • ĐỐ VUI - THƯ GIÃN (360 bài viết)
  • Các vấn đề giáo dục (1209 bài viết)
  • Bài học trực tuyến (1033 bài viết)
  • Hoàng Sa - Trường Sa (17 bài viết)
  • Vui học đường (276 bài viết)
  • Tin học và Toán học (220 bài viết)
  • Truyện cổ tích - Truyện thiếu nhi (181 bài viết)
  • Việt Nam - 4000 năm lịch sử (97 bài viết)
  • Xem toàn bộ bài viết (8179 bài viết)
  •  
    Thành viên có mặt
    Khách: 9
    Thành viên: 0
    Tổng cộng: 9
     
    Số người truy cập
    Hiện đã có 54835096 lượt người đến thăm trang Web của chúng tôi.

    Toán 12- Nâng Cao - Chương III - Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

    Ngày gửi bài: 18/11/2011
    Số lượt đọc: 13168

    §2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

    1. Phương trình mặt phẳng

    Vectơ ≠ 0 gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của vuông góc với mặt phẳng (α).

    Rõ ràng nếu là vectơ pháp tuyến của mp(α) thì k (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của mp(α).


    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm Mo(xo ; yo ; zo) và có vectơ pháp tuyến (A;B;C). Chú ý rằng vì ≠ 0 nên A2+B2+C2>0. Khi đó, điều kiện cần và đủ để điểm M(x ; y ; z) thuộc (α) là (h.63), hay


    A
    (x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.(1)

    Hình 63

    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch3_h63.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe )

    Nhận xét. Nếu ta đặt D = -(Ax0 + By + Cz0) thì phương trình (1) trở thành :

    Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A2 + B2 + C2>0. (2)

    Phương trình (2) gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) hay nói gọn là phương trình mp(α).

    Như vậy, ta đễ dàng viết được phương trình mặt phẳng nếu biết tọa độ của một điểm thuộc nó và tọa độ một vectơ pháp tuyến của nó.


    Ví dụ 1.
    Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm M(0 ; 1 ; 1), N(1 ; -2 ; 0) và P(1 ; 0 ; 2).


    Giải.
    Ta có = (1 ; -3 ; -1) và = (1 ; -1 ; 1). Từ đó ta tính được . Vectơ ≠ 0 vuông góc với cả hai vectơ ,nên là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α). Như vậy, (α) là mặt phẳng đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình

    -4(x - 0) – 2(y – 1) + 2(z - 1) = 0 hay 2x + y +z = 0. ¢

    1

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1 ; -2 ; 3) và B(-5 ; 0 ; 1). Hãy viết phương trình mặt phẳng trung trực(P) của đoạn thẳng AB.

    Như vậy, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng (2). Định lý sau đây khẳng định điều ngược lại.


    ĐỊNH LÍ

    Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình

    Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2>0

    đều là phương trình của một mặt phẳng xác định.


    2
    (để chứng minh định lí).

    Lấy một nghiệm (x0 ;y0 ; z0) và vectơ pháp tuyến là (A ; B ; C). Hãy viết phương trình của (P) để thấy rằng nó tương đương với phương trình (2).


    2. Các trường hợp riêng


    Chúng ta hãy xét một số trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng và nói rõ trong mỗi trường hợp đó, mặt phẳng có đặc điểm gì .


    3

    Trong không gian Oxyz, xét mặt phẳng (α) có phương trình :

    Ax + By + Cz + D = 0

    Hãy giải thích vì sao ta có các khẳng đình sau đây :

    a) Mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O khi và chỉ khi D = 0.


    b) Mặt phẳng (α) song song (hoặc chứa) trục tọa độ Ox khi và chỉ khi A = 0.

    Hãy phát biểu kết luận tương tự cho trường hợp B = 0 và trường hợp C = 0.


    c) Mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với mặt phẳng (Oxy) khi và chỉ khi A = B = 0.

    Hãy phát biểu kết luận tương tự cho trường hợp B = C = 0 và trường hợp C = A = 0.

    Sau đây ta xét trường hợp mặt phẳng có phương trình

    Ax + By + Cz + D = 0 với cac hệ số A, B, C, D đều khác 0.

    Khi đó bằng cách đặt , ta đưa phương trình trên về dạnh


    Rõ ràng mặt phẳng có phương trình(3) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm M(a ; 0 ; 0), N(0 ; b ; 0) và P(0 ; 0 ; c). Độ dài đại số của các vectơ trên các trục tọa độ chứa chúng lần lượt là . Bởi vậy phương trình (3) được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.


    Ví dụ 2.
    Trong không gian Oxyz, cho điểm M = (30 ; 15 ; 6).


    a) Hãy viết phương trình mặt phẳng
    (α) đi qua các hình chiếu của M trên các trục tọa độ.

    b) Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm O trên mp(α).


    Giải

    a) Các hình chiếu của M trên các trục tọa độ là các điểm (30 ; 0 ; 0), (0 ; 15 ; 0) và (0 ; 0 ; 6). Phương trình mp(α) đi qua ba điểm đó là


    b) Điểm H nằm trên mặt phẳng (α) và cùng phương với vectơ pháp tuyến (1 ; 2 ; 5) của (α), tức là . Bởi vậy, nếu gọi (x, y, z) là tọa độ của H thì

    Bằng cách thay các giá trị x, y, z từ ba phương trình cuối vào phương trình đầu, ta được t + 4t + 25t – 30 = 0. Từ đó ta tìm được t = 1 và do đó H = (1 ; 2 ; 5).¢


    3. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng


    Hai bộ số tỉ lệ

    Xét các bộ n số (x1 ; x2 ; … ; xn) (n>2), trong đó các số x1, x2, …, xn không đồng thời bằng 0.

    Hai bộ số (A1 ; A2 ; … ; An) và (B1 ; B2 ; … ; Bn) như thế được gọi là tỉ lệ với nhau (hay tỉ lệ) nếu có một số t sao cho A1 = tB1, A2 = tB2,…, An = tBn.

    Khi đó ta viết

    Theo định nghĩa đó, ta có



    Khi hai bộ số (A1 ; A2 ;… ; An) và (B1 ; B2 ;… ; Bn) không tỉ lệ , ta viết

    A1 : A2 : … : An≠B1 : B2 : … : Bn .


    Ví dụ :
    1 : 5 : -2 : 4 1 : -2 : 5 : 4,

    1 : 0 : 1 : 21 : 1 : 1 : 2.

    Ta hãy xét trường hợp hai bộ số (A1 ; A2 ;… ; An) và (B1 ; B2 ;… ; Bn) tỉ lệ, nhưng hai bộ số (A1 ; A2 ;… ; An ;An+1) và (B1 ; B2 ;… ; Bn ; Bn+1) không tỉ lệ. Điều đó có nghĩa là : có số t sao cho A1 = tB1, A2 = tB2,…, An = tBn nhưng An+1 ≠tBn+1 . Trong trường hợp đó, ta viết :


    Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng


    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng
    (α)và (α') lần lượt có phương trình :

    (α) : Ax + By + Cz + D = 0

    (α') : A'x + B'y + C'z + D’ = 0 ;

    Chúng lần lượt có vectơ pháp tuyến là (A ; B ; C) và (A' ; B' ; C').


    ?1
    Nếu A : B : C A' : B' : C' thì ta có thể nói gì về hai vectơ (A ; B ; C) và (A' ; B' ; C') và do đó nói gì về vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (α)và (α') ?

    Bây giờ xét trường hợp A : B : C =A' : B' : C' hay .


    4

    Hãy xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (α)và (α') trong mỗi trường hợp sau :


    Tóm lại ta có :

    Cho hai mặt phẳng (α)và (α') lần lượt có phương trình :

    (α) : Ax + By + Cz + D = 0

    (α') : A'x + B'y + C'z + D’ = 0.

    a) Hai mặt phẳng đó cắt nhau khi và chỉ khi A : B : C A' : B' : C' .

    b) Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ khi

    c) Hai mặt phẳng đó trùng nhau khi và chỉ khi


    ?2
    Hai mặt phẳng (α)và (α') nói trên vuông góc với nhau khi nào ?


    5

    Cho hai mặt phẳng (α) : 2xmy + 10z + m +1 = 0

    (β) : x – 2y + (3m +1)z – 10 = 0.

    Hãy tìm giá trì của m để :

    a) Hai mặt phẳng đó song song ;

    b) Hai mặt phẳng đó trùng nhau ;

    c) Hai mặt phẳng đó cắt nhau ;

    d) Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.


    4. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng


    Trong không gian Oxyz, cho điểm Mo(xo ; yo ; zo) và mặt phẳng
    (α) có phương trình : Ax + By + Cz + D = 0. Hoàn toàn tương tự như công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng trong hình học phẳng, ta có công thức sau đây về khoảng cách d(Mo,( α)) từ điểm Mo tới mp(α) :


    6

    Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là :

    3x – y + 2z – 6 = 0 và 6x – 2 y + 4z + 4 = 0.


    Ví dụ 3.
    Cho tứ diện OABCD có ba cạnh OA = a, OB = b, OC = c. Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ O.


    Giải

    Vì ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên ta có thể chọn hệ tọa độ có gốc là O và có A = (a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c) (h.64).

    Hình 64

    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch3_h64.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe )

    Khi đó mp(ABC) có phương trình theo đoạn chắn là

    Chiều cao h cần tìm là khoảng cách từ điểm O tới mp(ABC) nên


    Ví dụ 4.
    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Trên các cạnh AA', BC, C'D' lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = CN = D'P = t, với 0 < t < a. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mp(ACD') và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.


    Giải

    Chọn hệ tọa độ Oxyz, có gốc O trùng với D, các trục Ox, Oy, Oz lần lượt đi qua A, C', D' như ở hình 65.

    Hình 65

    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch3_h65.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe )

    Khi đó :

    A = (a ; 0 ; 0), C = (0 ; a ; 0), D' = (0 ; 0 ; a),

    M = (a ; 0 ; t), N = (t ; a ; 0), P = (0 ; t ; a).


    Phương trình theo đoạn chắn của mp(ACD') là :


    Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là = (1 ; 1 ; 1).

    Mặt khác, mp(MNP) có vectơ pháp tuyến là .

    Ta có .

    Từ đó ta tìm được tọa độ của vectơ

    = (a2 + t2 – at ; a2 + t2 – at ; a2 + t2 - at).


    Bởi vậy hai vectơ cùng phương ; ngoài ra dễ thấy điểm M không nằm trên mp(ACD') ; do đó mp(MNP) // mp(ACD').


    Khoảng cách d giữa hai mặt phẳng đó bằng khoảng cách từ điểm M của mp(MNP) tới mp(ACD') nên ta có


    Câu hỏi và bài tập


    15.
    Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng :

    a) Đi qua ba điểm M(2 ; 0 ; -1), N(1 ; -2 ; 3), P(0 ; 1 ; 2) ;

    b) Đi qua hai điểm A(1 ; 1 ; -1), B(5 ; 2 ; 1) và song song với trục Oz ;

    c) Đi qua hai điểm (3 ; 2 ; -1) và song song với mặt phẳng có phương trình x – 5y + z = 0 ;

    d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(-1 ; 0 ; 2) và vuồn góc với mặt phẳng x – y + z + 1 = 0 ;

    e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với abc ≠ 0) và song song với một mặt phẳng tọa độ ;

    g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A ; B ; C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;

    h) Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.


    16.
    Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau :

    a) x + 2y – z + 5 = 0và 2x + 3y – 7z - 4 = 0 ;

    b) x + 2y – z - 3 = 0và 2x - y + 4z - 2 = 0 ;

    c) x + y + z - 1 = 0và 2x + 2y +2z + 3 = 0 ;

    d) 3x - 2y + 3z + 5 = 0và 9x - 6y – 9z - 5 = 0 ;

    e) x - y + 2z - 4 = 0và 10x - 10y + 20z - 40 = 0 .


    17.
    Xác định giá trị của m n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song :

    a) 2x + my + 2z +3 = 0và mx + 2y4z + 7 = 0 ;

    b) 2x + y + mz - 2 = 0và x + n y + 2z + 8 = 0 .


    18.
    Cho hai mặt phẳng có phương trình là

    2xmy + 3z – 6 + m = 0

    và(m + 3)x – 2y + (5m + 1)z – 10 = 0.

    Với giá trì nào của m thì :

    a) Hai mặt phẳng đó song song ;

    b) Hai mặt phẳng đó trùng nhau ;

    c) Hai mặt phẳng đó cắt nhau ;

    d) Hai mặt phẳng đó vuông góc ?


    19.
    Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (α) và (α) trong mỗi trường hợp sau :

    a) (α) : 2xy + 4z + 5 = 0, (α’) : 3x + 5y – z – 1 = 0 ;

    b) (α) : 2x + y - 2z - 1 = 0, (α’) : 6x - 3y + 2z – 2 = 0 ;

    c) (α) : x + 2y + z - 1 = 0, (α’) : x + 2y + z + 5 = 0 ;


    20.
    Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng

    Ax + By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D' = 0

    với D ≠ D'.


    21.
    Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau :

    a) M cách đều điểm A(2 ; 3 ; 4) và mặt phẳng 2x + 3y + z - 17 = 0 ;

    b) M cách đều hai mặt phẳng x + y - z + 1 = 0 và x - y + z + 5 = 0.


    22.
    Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh O. Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp tọa độ, hãy chứng minh :

    a) Tam giác ABC có ba góc nhọn ;

    b) cos2α + cos2β + cos2γ = 1.


    23.
    Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 4x + 3y – 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình :

    x2 + y2+ z22x4y - 6z2 = 0.

    School@net



    Bài viết liên quan:
    Toàn bộ chương trình sách giáo khoa môn Toán, phần Hình học lớp 12 - Nâng cao đã lên mạng với tất cả các hình ảnh động kèm theo (22/11/2011)
    Toán 12 - Chương III - Bài 5. Ôn tập cuối năm (21/11/2011)
    Toán 12- Nâng Cao - Chương III - Bài 4. Ôn Tập Chương III (19/11/2011)
    Toán 12 - Chương III - Bài 3. Phương trình đường thẳng (19/11/2011)
    Toán 12 - Chương III - Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian. (18/11/2011)
    Toán 12- Nâng Cao - Chương II - Bài 5. ÔN TẬP CHƯƠNG II (17/11/2011)
    Toán 12 - Chương II - Bài 4. Mặt nón, hình nón và khối nón (17/11/2011)
    Toán 12- Nâng Cao - Chương II - Bài 3. MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ (16/11/2011)
    Toán 12 - Chương II - Bài 2. Khái niệm về mặt tròn xoay (15/11/2011)
    Toán 12- Nâng Cao - Chương II - Bài 1. MẶT CẦU, KHỐI CẦU (15/11/2011)

    Phần mềm liên quan:

    Bài giảng Hình học 12 - GeoMath 12
    60 000 VND

    Bài giảng Hình học 7 - GeoMath 7
    60 000 VND

    Trắc nghiệm Giao thông
    45 000 VND

     Bản để in  Lưu dạng file  Gửi tin qua email


    Những bài viết khác:



    Lên đầu trang

     
    CÔNG TY CÔNG NGHỆ TIN HỌC NHÀ TRƯỜNG
     
    Phòng 1407 - Nhà 17T2 - Khu Trung Hoà Nhân Chính - Quận Cầu Giấy - Hà Nội
    Điện thoại: (024) 62511017 - Fax: (024) 62511081
    Email: school.net@hn.vnn.vn / thukhachhang@yahoo.com


    Bản quyền thông tin trên trang điện tử này thuộc về công ty School@net
    Ghi rõ nguồn www.vnschool.net khi bạn phát hành lại thông tin từ website này
    Site xây dựng trên cơ sở hệ thống NukeViet - phát triển từ PHP-Nuke, lưu hành theo giấy phép của GNU/GPL.