Hotline: 024.62511017

024.62511081

  Trang chủ   Sản phẩm   Phần mềm Dành cho nhà trường   Phần mềm Hỗ trợ học tập   Kho phần mềm   Liên hệ   Đăng nhập | Đăng ký

Tìm kiếm

School@net
 
Xem bài viết theo các chủ đề hiện có
  • Hoạt động của công ty (728 bài viết)
  • Hỗ trợ khách hàng (494 bài viết)
  • Thông tin tuyển dụng (57 bài viết)
  • Thông tin khuyến mại (81 bài viết)
  • Sản phẩm mới (218 bài viết)
  • Dành cho Giáo viên (552 bài viết)
  • Lập trình Scratch (3 bài viết)
  • Mô hình & Giải pháp (155 bài viết)
  • IQB và mô hình Ngân hàng đề kiểm tra (126 bài viết)
  • TKB và bài toán xếp Thời khóa biểu (242 bài viết)
  • Học tiếng Việt (182 bài viết)
  • Download - Archive- Update (289 bài viết)
  • Các Website hữu ích (71 bài viết)
  • Cùng Học (98 bài viết)
  • Learning Math: Tin học hỗ trợ học Toán trong nhà trường (74 bài viết)
  • School@net 15 năm (153 bài viết)
  • Mỗi ngày một phần mềm (7 bài viết)
  • Dành cho cha mẹ học sinh (123 bài viết)
  • Khám phá phần mềm (122 bài viết)
  • GeoMath: Giải pháp hỗ trợ học dạy môn Toán trong trường phổ thông (36 bài viết)
  • Phần mềm cho em (13 bài viết)
  • ĐỐ VUI - THƯ GIÃN (360 bài viết)
  • Các vấn đề giáo dục (1209 bài viết)
  • Bài học trực tuyến (1033 bài viết)
  • Hoàng Sa - Trường Sa (17 bài viết)
  • Vui học đường (276 bài viết)
  • Tin học và Toán học (220 bài viết)
  • Truyện cổ tích - Truyện thiếu nhi (181 bài viết)
  • Việt Nam - 4000 năm lịch sử (97 bài viết)
  • Xem toàn bộ bài viết (8222 bài viết)
  •  
    Đăng nhập/Đăng ký
    Bí danh
    Mật khẩu
    Mã kiểm traMã kiểm tra
    Lặp lại mã kiểm tra
    Ghi nhớ
     
    Quên mật khẩu | Đăng ký mới
    
     
    Giỏ hàng

    Xem giỏ hàng


    Giỏ hàng chưa có sản phẩm

     
    Bản đồ lưu lượng truy cập website
    Locations of visitors to this page
     
    Thành viên có mặt
    Khách: 5
    Thành viên: 0
    Tổng cộng: 5
     
    Số người truy cập
    Hiện đã có 84300788 lượt người đến thăm trang Web của chúng tôi.

    Toán 11 - Chương III- Bài 4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

    Ngày gửi bài: 06/11/2010
    Số lượt đọc: 6919

    Hình ảnh của một cánh cửa chuyển động và hình ảnh của bề mặt bức tường cho ta thấy được sự thay đổi của góc giữa hai mặt phẳng.

    I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

    1. Định nghĩa

    Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó (h.3.30).

    Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 0o.


    Hình 3.30


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch3_h3.30.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

    2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

    Giả sử hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c. Từ một điểm I bất kì trên c ta dựng trong (α) đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong (β) đường thẳng b vuông góc với c.

    Người ta chứng minh được góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là góc giữa hai đường thẳng a và b (h.3.31).


    Hình 3.31


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch3_h3.31.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )


    Hình 3.31a


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch3_h3.31a.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

    3. Diện tích hình chiếu của một đa giác

    Người ta đã chứng minh tính chất sau đây:

    Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng (α) có diện tích S và H’ là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (β). Khi đó diện tích S’ của H’ được tính theo công thức:

    S’ = S. cos φ

    với φ là góc giữa (α) và (β).

    Ví dụ. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và .

    a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).

    b) Tính diện tích tam giác SBC.

    Giải

    a) Gọi H là trung điểm của cạnh BC. Ta có BC ⊥ AH (1)

    Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC (2)

    Vậy góc giữa (ABC) và (SBC) bằng 30o.


    Hình 3.32


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch3_h3.32.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

    b) Vì SA ⊥ (ABC) nên tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác SBC. Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích của tam giác SBC và ABC. Ta có:

    II. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

    1. Định nghĩa

    Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.

    Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau ta kí hiệu (α) ⊥ (β).

    2. Các định lí

    Định lí 1

    Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

    Chứng minh

    Giả sử (α), (β) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi c là giao tuyến của (α) và (β). Từ điểm O thuộc c, trong mặt phẳng (α) vẽ đường thẳng a vuông góc với c và trong (β) vẽ đường thẳng b vuông góc với c. (h.3.33). Ta có góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β). Vì (α) vuông góc với (β) nên góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 90o, nghĩa là a vuông góc với b. Mặt khác theo cách dựng ta có a vuông góc với c.

    Do đó a vuông góc với mặt phẳng (c,b) hay a vuông góc với (β).

    Lí luận tương tự ta tìm được trong mặt phẳng (β) đường thẳng b vuông góc với (α).

    Ngược lại, giả sử mặt phẳng (α) có chứa một đường thẳng a’ vuông góc với mặt phẳng (β). Gọi O’ là giao điểm của a’ với (β) thì tất nhiên O’ thuộc giao tuyến c của (α) và (β). Trong mặt phẳng (β) dựng đường thẳng b’ đi qua O’ và vuông góc với c. Vì a’ vuông góc với (β) nên a’ vuông góc với c và a’ vuông góc với b’. Mặt khác ta có a’ vuông góc với c và b’ vuông góc với c nên góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là góc giữa hai đường thẳng a’, b’ và bằng 90o. Vậy (α) vuông góc với (β).


    Hình 3.33


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch3_h3.33.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )


    Hình 3.33a


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch3_h3.33a.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

    Δ1. Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Chứng minh rằng nếu có một đường thẳng Δ nằm trong (α) và Δ vuông góc với d thì Δ vuông góc với (β).

    Hệ quả 1.

    Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

    Hệ quả 2.

    Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng (α) ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (β) thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng (α).

    Định lí 2.

    Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

    Chứng minh

    Giải sử (α) và (β) là hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng (γ).

    Từ một điểm A trên giao tuyến d của hai mặt phẳng (α) và (β) ta dựng đường thẳng d’ vuông góc với mặt phẳng γ. Theo hệ quả 2 thì d’ nằm trong (α) và d’ nằm trong (β). Vậy d’ trùng với d nghĩa là d vuông góc với (γ) (h.3.34).


    Hình 3.34


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch3_h3.34.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )


    Hình 3.34a


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch3_h3.34a.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

    Δ2. Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ADB) cùng đôi một vuông góc với nhau.

    Δ3. Cho hình vuông ABCD. Dựng đoạn thẳng AS vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông ABCD.

    a) Hãy nêu tên các mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng SB, SC, SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

    b) Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBD).

    III. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG

    1. Định nghĩa

    Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đứng.

    + Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, v..v… được gọi là hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác, v.v…

    + Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đều. Ta có các loại lăng trụ đều như: hình lăng trụ tam giác đều, hình lăng trụ tứ giác đều, hình lăng trụ ngũ giác đều,…

    + Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.

    + Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật.

    + Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông được gọi là hình lập phương.


    Hình 3.35a


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch3_h3.35a.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )


    Hình 3.35b


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch3_h3.35b.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

    Δ4. Cho biết mệnh đều nào dau đây là đúng ?

    a) Hình hộp là hình lăng trụ đứng.

    b) Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng

    c) Hình lăng trụ là hình hộp.

    d) Có hình lăng trụ không phải là hình hộp.

    2. Nhận xét

    Các mặt bên của hình lăng trụ đứng luôn luôn vuông góc với mặt phẳng đáy và là những hình chữ nhật.

    Δ5. Sáu mặt của hình hộp chữ nhật có phải là những hình chữ nhật không?

    Ví dụ. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mặt phẳng trung trực (α) của đoạn AC’.

    Giải

    Gọi M là trung điểm của BC. Ta có nên M thuộc mặt phẳng trung trực của AC’ (h.3.36).

    Gọi N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của CD, DD’, D’A’, A’B’, BB’. Chứng minh tương tự như trên ta có các điểm này đều thuộc mặt phẳng trung trực của AC’. Vậy thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mặt phẳng trung trực (α) của đoạn AC’ là hình lục giác đều MNPQRS có cạnh bằng .

    Diện tích S của thiết diện cần tìm là:


    Hình 3.36


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch3_h3.36.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

    IV. HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU

    1. Hình chóp đều

    Cho hình chóp đỉnh S có đáy là đa giác A1A2…An và H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (A1A2…An). Khi đó đoạn thẳng SH gọi là đường cao của hình chóp và H là chân đường cao.

    Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là hình đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.

    Nhận xét

    a) Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

    b) Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

    2. Hình chóp cụt đều

    Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.

    Ví dụ hình A1A2A3A4A5A6B1B2B3B4B5B6 trong hình 3.37 là một hình chóp cụt đều. Hai đáy của hình chóp cụt đều là hai đa giác đều đồng dạng với nhau.

    Nhận xét. Các mặt bên của hình chóp cụt đều là những hình thang cân và các cạnh bên của hình chóp cụt đều có độ dài bằng nhau.


    Hình 3.37


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch3_h3.37.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )


    Hình 3.37a


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch3_h3.37a.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

    Δ6. Chứng minh rằng hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau.

    Δ7. Có tồn tại một hình chóp tứ giác S.ABCD có hai mặt bên (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy hay không?

    Bạn có biết

    Kim tự tháp Kê-ốp (Chéops)

    Kim tự tháp Kê-ốp do ông vua Kê-ốp của nước Ai Cập chủ trì việc xây dựng. Đây là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập. Tháp này được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên và được xem là một trong bảy kì quan của thế giới. Tháp có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều và có đáy là một hình vuông mỗi cạnh dài 230 m. Trước đây chiều cao của tháp là 147 m, nay do bị bào mòn ở đỉnh nên chiều cao của tháp chỉ còn khoảng 138m. Người ta không biết người Ai Cập đã xây dựng tháp bằng cách nào, làm thế nào để lắp ghép các tảng đá lại với nhau và làm thế nào để đưa được các tảng đá nặng và to lên các độ cao cần thiết. Tháp nặng khoảng 6 triệu tấn và được lắp ghép bởi 2300000 tảng đá. Thật là một công trình vĩ đại.

    BÀI TẬP

    1. Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ), mệnh đề nào sau đây đúng?

    a) Nếu (α) ⊥ (β), và (α)//(γ) thì (β) ⊥ (γ).

    b) Nếu (α) ⊥ (β), và (α) ⊥ (γ) thì (β) // (γ).

    2. Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến Δ của hai mặt phẳng đó hai điểm A và B sao cho AB = 8 cm. Gọi C là một điểm trên (α) và D là một điểm trên (β) sao cho AC và BD cùng vuông góc với giao tuyến  và AC = 6 cm, BD = 24 cm. Tính độ dài đoạn CD.

    3. Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông ở B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với (α) tại A. Chứng minh rằng:

    a) là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC);

    b) Mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD);

    c) HK//BC với H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với DB.

    4. Cho hai mặt phẳng (α), (β) cắt nhau và một điểm M không thuộc (α) và không thuộc (β). Chứng minh rằng qua điểm M có một và chỉ một mặt phẳng (P) vuông góc với (α) và (β). Nếu (α) song song với (β) thì kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào?

    5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng:

    a) Mặt phẳng (AB’C’D) vuông góc với mặt phẳng (BCD’A’);

    b) Đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD).

    6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng:

    a) Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD).

    b) Tam giác SBD là tam giác vuông.

    7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c.

    a) Chứng minh rằng mặt phẳng (ADC’B’) vuông góc với mặt phẳng (ABB’A’).

    b) Tính độ dài đường chéo AC’ theo a, b, c.

    8. Tính độ dài đường chéo của một hình lập phương cạnh a.

    9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SH là đường cao. Chứng minh SA ⊥ BC và SB ⊥ AC.

    10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

    a) Tính độ dài đoạn thẳng SO.

    b) Gọi M là trung điểm của đoạn SC. Chứng minh hai mặt phẳng (MBD) và (SAC) vuông góc với nhau.

    c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).

    11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm I cạnh a và có góc A bằng 60o, cạnh và SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

    a) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC).

    b) Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc với SA tại K. hãy tính độ dài IK.

    c) Chứng minh và từ đó suy ra mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAD).

    Schoolnet



     Bản để in  Lưu dạng file  Gửi tin qua email


    Những bài viết khác:



    Lên đầu trang

     
    CÔNG TY CÔNG NGHỆ TIN HỌC NHÀ TRƯỜNG
     
    Phòng 804 - Nhà 17T1 - Khu Trung Hoà Nhân Chính - Quận Cầu Giấy - Hà Nội
    Phone: 024.62511017 - 024.62511081
    Email: kinhdoanh@schoolnet.vn


    Bản quyền thông tin trên trang điện tử này thuộc về công ty School@net
    Ghi rõ nguồn www.vnschool.net khi bạn phát hành lại thông tin từ website này
    Site xây dựng trên cơ sở hệ thống NukeViet - phát triển từ PHP-Nuke, lưu hành theo giấy phép của GNU/GPL.