Hotline: 024.62511017

024.62511081

  Trang chủ   Sản phẩm   Phần mềm Dành cho nhà trường   Phần mềm Hỗ trợ học tập   Kho phần mềm   Liên hệ   Đăng nhập | Đăng ký

Tìm kiếm

School@net
 
Xem bài viết theo các chủ đề hiện có
  • Hoạt động của công ty (728 bài viết)
  • Hỗ trợ khách hàng (494 bài viết)
  • Thông tin tuyển dụng (57 bài viết)
  • Thông tin khuyến mại (81 bài viết)
  • Sản phẩm mới (218 bài viết)
  • Dành cho Giáo viên (552 bài viết)
  • Lập trình Scratch (3 bài viết)
  • Mô hình & Giải pháp (155 bài viết)
  • IQB và mô hình Ngân hàng đề kiểm tra (126 bài viết)
  • TKB và bài toán xếp Thời khóa biểu (242 bài viết)
  • Học tiếng Việt (182 bài viết)
  • Download - Archive- Update (289 bài viết)
  • Các Website hữu ích (71 bài viết)
  • Cùng Học (98 bài viết)
  • Learning Math: Tin học hỗ trợ học Toán trong nhà trường (74 bài viết)
  • School@net 15 năm (153 bài viết)
  • Mỗi ngày một phần mềm (7 bài viết)
  • Dành cho cha mẹ học sinh (123 bài viết)
  • Khám phá phần mềm (122 bài viết)
  • GeoMath: Giải pháp hỗ trợ học dạy môn Toán trong trường phổ thông (36 bài viết)
  • Phần mềm cho em (13 bài viết)
  • ĐỐ VUI - THƯ GIÃN (360 bài viết)
  • Các vấn đề giáo dục (1209 bài viết)
  • Bài học trực tuyến (1033 bài viết)
  • Hoàng Sa - Trường Sa (17 bài viết)
  • Vui học đường (276 bài viết)
  • Tin học và Toán học (220 bài viết)
  • Truyện cổ tích - Truyện thiếu nhi (181 bài viết)
  • Việt Nam - 4000 năm lịch sử (97 bài viết)
  • Xem toàn bộ bài viết (8222 bài viết)
  •  
    Đăng nhập/Đăng ký
    Bí danh
    Mật khẩu
    Mã kiểm traMã kiểm tra
    Lặp lại mã kiểm tra
    Ghi nhớ
     
    Quên mật khẩu | Đăng ký mới
    
     
    Giỏ hàng

    Xem giỏ hàng


    Giỏ hàng chưa có sản phẩm

     
    Bản đồ lưu lượng truy cập website
    Locations of visitors to this page
     
    Thành viên có mặt
    Khách: 4
    Thành viên: 0
    Tổng cộng: 4
     
    Số người truy cập
    Hiện đã có 84361288 lượt người đến thăm trang Web của chúng tôi.

    BÀI 2: CÁC TIÊN ĐỀ CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

    Ngày gửi bài: 04/04/2007
    Số lượt đọc: 7689

    Cùng với các đối tượng cơ bản là “điểm”, “đường thẳng”, “mặt phẳng” và những kết quả của hình học phẳng, ta thừa nhận thêm một số tiên đề cần thiết sau đây để xây dựng hình học không gian:

    1. Các tiên đề

    Tiên đề 1: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.

    Giả sử A, B, C là 3 điểm không thẳng hàng. Theo tiên đề 1, có một và chỉ một mặt phẳng (P) đi qua A, B, C. Ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng (ABC) và viết là mp(ABC) hay (ABC). Ngoài ba điểm A, B, C này, mặt phẳng (ABC) có chứa vô số điểm khác nữa. Tiên đề 2 sau đây sẽ cho ta biết rõ điều đó.

    Tiên đề 2: Nếu một đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

    Nếu mọi điểm của đường thẳng a đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói rằng đường thẳng a nằm trên hoặc nằm trong mặt phẳng (P), hoặc mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng a hoặc chứa đường thẳng a và kí hiệu là a ⊂(P)

    Tiên đề 3: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.

    Tiên đề 4: Có ít nhất bốn điểm cùng thuộc một mặt phẳng.

    Nếu có nhiều điềm cùng thuộc một mặt phằng thì ta nói rằng những điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa những điểm đó thì ta nói rằng những điểm đó không đồng phẳng. Như vậy tiên đề 4 có thể phát biểu :

    “Có ít nhất bốn điểm đồng phẳng”.

    Từ các tiên đề trên, kể cả những tiên đề của hình học phẳng, ta nhận thấy rằng đường thẳng, mặt phẳng và không gian chứa vô số điểm.

    2. Định lý và chứng minh.

    Chúng ta thừa nhận các tiên đề đã nêu trên mà không chứng minh. Những khẳng định được chứng minh, bằng cách dựa vào các tiên đề hoặc cá khẳng định đã được chứng minh được gọi là các định lý. Sau đây là một số ví dụ định lý và chứng minh của các định lí đó.

    Định lí 1: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng.

    Chứng minh: Giả sử hai mặt phẳng (P) và (Q) có một điểm chung C. Theo tiên đề 3 thì (P) và (Q) còn có thêm một điểm chung thứ 2 D (h.5). Theo tiên đề 2 mọi điểm trên đường thẳng a qua C và D đều thuộc (P) và (Q) nghĩa là chúng đều là điểm chung của (P) và (Q).

    H5. Giao điểm của hai mặt phẳng (Minh họa cho chứng minh định lý 1)

    Dịch chuyển các điểm C, D trên mặt phẳng P hoặc dịch chuyển điểm (màu đỏ) trên mặt phẳng Q để quan sát sự thay đổi trong không gian của mặt phẳng Q và giao điểm của P và Q.

    (Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

    Nếu (P) và (Q) còn có một điểm chung khác là E không nằm trên đường thẳng CD, thì theo tiên đề 1 hai mặt phẳng (P) và (Q) phải trùng nhau vì chúng cùng chứa ba điểm không thẳng hàng C, D, E. Điều này trái với giả thiết là (P) và (Q) phân biệt. Vậy a là đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q) đó. Đường thẳng chung a qua C và D gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

    Định lí 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng đó

    .

    Chứng minh: Giả sử cho đường thẳng a và một điểm A nằm ngoài đường thẳng a

    H6. Minh họa cho định lý 2

    Các điểm B, C có thể dịch chuyển trêb đường thẳng.

    Nháy và rê chuột trực tiếp trên đường thẳng sẽ làm dịch chuyển đường thẳng này.

    (Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

    Trên đường thẳng a ta lấy hai điểm phân biệt B và C. Vì ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên theo tiên đề 1, có mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm đó. Theo tiên đề 2, thì mặt phẳng (ABC) cũng chứa đường thẳng a.

    Nếu có một mặt phẳng khác cũng đi qua đường thẳng a và chứa điểm A thì nó cũng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Do đó theo tiên đề 1, mặt phẳng đó phải trùng với mặt phẳng (ABC). Như vậy có mặt phẳng (ABC) duy nhất đi qua đường thẳng a và điểm A. Có thể kí hiệu mặt phẳng (ABC) này là mặt phẳng (a,A) hay mp(a, A).

    Định lí 3. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau.

    Chứng minh: Giả sử hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm C.

    H7. Minh họa cho định lý 3

    (Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

    Nháy vả rê chuột trực tiếp trên các đường thẳng a, b để làm chuyển động các đường thẳng này. Có thể dịch chuyển các điểm A, B trên các đường thẳng a, b tương ứng.

    Trên a lấy một điểm A khác C và trên b lấy một điểm B khác C, ta có ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

    Theo tiên đề 1, mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng được xác định duy nhất. Mặt phẳng này cũng đi qua a và b. Nếu có mặt phẳng nào khác cũng đi qua a và b thì nó cũng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên phải trùng với mặt phẳng (ABC). Có thể kí hiệu mặt phẳng (ABC) này là mặt phẳng (a,b) hoặc mp(a, b) vì nó được xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b.

    3. Các ví dụ.

    Ví dụ 1. Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác ABCD có các cạnh đối AB và CD không song song với nhau. Gọi S là một điểm không thuộc mặt phẳng (P).

    Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

    Giải

    a) Ta có S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác phẳng ABCD cho trước. Vì O∈AC nên O∈mp(SAC) và O∈BC nên O ∈ mp(SBC).

    Hình 8. Minh họa cho ví dụ 1

    (Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

    Dịch chuyển các điểm A, B, C, D trên mặt phẳng và điểm S trong không gian để quan sát sự thay đổi của các đối tượng hình học trên hình

    .

    Vậy O là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Do đó đường thẳng SO là giao tuyến cần tìm của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    b) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD. Hai đường thẳng này cùng thuộc mặt phẳng (P) và không song song với nhau. Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có hai điểm chung là S và I. Do đó giao tuyến của chúng là đường thẳng SI.

    Ví dụ 2. Cho tam giac ABC và một điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Gọi A’, B’, C’ là các điểm lần lượt lấy trên các đoạn thẳng OA, OB, OC và không trùng với đầu mút các đoạn thẳng đó. Chứng minh rằng nếu các cặp đường thẳng A’B’ và AB, B’C’ và BC, C’A’ và CA cắt nhau lần lượt tại D, E, F thì ba điểm D, E, F thẳng hàng.

    Giải. Ta có A’, B’, C’ là ba điểm không thẳng hàng

    Hình 9. Minh họa cho ví dụ 2

    (Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

    Các điểm A, B, C có thể được chuyển động tự do trên mặt phẳng P. Điểm O chuyển động trong không gian. Muốn chuyển dịch điểm O theo chiều thẳng đứng hãy nhấn giữ phím Shift trong khi dịch chuyển điểm. Các điểm A’, B’, C’ dịch chuyển trên các cạnh tương ứng của hình chóp OABC

    .

    Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua ba điểm A’, B’, C’. Theo tiên đề 2, ba điểm D, E, F cùng thuộc mặt phẳng (Q). Mặt khác cũng theo tiên để đó ba điểm D, E, F cũng thuộc mặt phẳng (ABC). Theo định lí 1, ba điểm D, E, F phải nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (A’B’C’) và (ABC) nghĩa là ba điểm D, E, F thẳng hàng.

    Ví dụ 3. Cho tam giác ABC và một điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Gọi A’, B’, C’ là các điểm lần lượt lấy trên các đoạn thẳng OA, OB, OC và không trùng nhau với đầu mút các đoạn thẳng đó. Chứng minh rằng nếu các cặp đường thẳng A’B’ và AB và BC, C’A’ và CA cắt nhau lần lượt tại D, E, F thì ba điểm D, E, F thẳng hàng.

    Giải:

    Ta có A’, B’, C’ là ba điểm không thẳng hàng. Gọi (β) là mặt phẳng đi qua ba điểm A’, B’, C’. Theo tiên đề 2, ba điểm D, E, F cùng mặt phẳng (β). Mặt khác, cũng theo tiên đề đó ba điểm D, E, F cũng thuộc mặt phẳng (ABC). Theo định lí 1, ba điểm D, E, F phải nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (A’B’C’) và (ABC) nghĩa là ba điểm D, E, F thẳng hàng.

    Bây giờ chúng ta hãy quan sát hình vẽ sau, các bạn có thể thao tác trực tiếp trên màn hình này.

    Máy tính của bạn cần cài đặt phần mềm Cabi 3D Plugin để trình duyệt Web có thể thể hiện chính xác hình vẽ này trong không gian 3 chiều.

    Hình 10. Minh họa cho ví dụ 3

    (Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

    Các điểm A, B, C chuyển động tự do trên mặt phẳng. Điểm O chuyển động trong không gian. Các điểm A’, B’, C’ chuyển động tự do trên các cạnh tương ứng. M chuyển động tự do trên mặt phẳng chính.

    Dùng chuột dịch chuyển các điểm này để quan sát toàn bộ hệ thống.

    - Nháy và kéo thả chuột với các điểm A, B, C để dịch chuyển các điểm này trên mặt phẳng P.

    - Nháy và kéo thả chuột với các điểm A’, B’, C’ để dịch chuyển các điểm này trên các đoạn thẳng tương ứng OA, OB và OC.

    - Nháy và kéo thả chuột tại điểm O để dịch chuyển điểm O trong không gian theo phương nằm ngang.

    - Nhấn giữ phím Shift và kéo thả chuột tại điểm O để dịch chuyển điểm O trong không gian theo chiều thẳng đứng.

    Kết hợp các thao tác vừa nêu trên bạn sẽ thấy một hình không gian chuyển động. Với hình này, việc giảng dạy và tiếp thu bài học này trở nên hết sức thú vị và hấp dẫn đối với học sinh.

    CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

    1. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

    a) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.

    b) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

    c) Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

    d) Nếu ba điểm M, N, P cũng thuộc hai mặt phẳng thì chúng thẳng hàng.

    2. Nếu ba đường thẳng phân biệt và đôi một cắt nhau thì chúng có cùng nằm trên một mặt phẳng không?

    3. Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (P) có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (P) và M là trung điểm đoạn thẳng SC.

    a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB)

    b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM và BN đồng quy.

    4. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2 PD.

    a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD với mặt phẳng (MNP)

    b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD).

    5. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và BC.

    a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD)

    b) Gọi M và N là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn AB và AC của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).

    School@net



     Bản để in  Lưu dạng file  Gửi tin qua email


    Những bài viết khác:



    Lên đầu trang

     
    CÔNG TY CÔNG NGHỆ TIN HỌC NHÀ TRƯỜNG
     
    Phòng 804 - Nhà 17T1 - Khu Trung Hoà Nhân Chính - Quận Cầu Giấy - Hà Nội
    Phone: 024.62511017 - 024.62511081
    Email: kinhdoanh@schoolnet.vn


    Bản quyền thông tin trên trang điện tử này thuộc về công ty School@net
    Ghi rõ nguồn www.vnschool.net khi bạn phát hành lại thông tin từ website này
    Site xây dựng trên cơ sở hệ thống NukeViet - phát triển từ PHP-Nuke, lưu hành theo giấy phép của GNU/GPL.