Hotline: 024.62511017

024.62511081

  Trang chủ   Sản phẩm   Phần mềm Dành cho nhà trường   Phần mềm Hỗ trợ học tập   Kho phần mềm   Liên hệ   Đăng nhập | Đăng ký

Tìm kiếm

School@net
 
Xem bài viết theo các chủ đề hiện có
  • Hỗ trợ khách hàng (474 bài viết)
  • Hoạt động của công ty (527 bài viết)
  • Thông tin khuyến mại (73 bài viết)
  • Sản phẩm mới (216 bài viết)
  • Mô hình & Giải pháp (145 bài viết)
  • IQB và mô hình Ngân hàng đề kiểm tra (116 bài viết)
  • TKB và bài toán xếp Thời khóa biểu (236 bài viết)
  • Học tiếng Việt (175 bài viết)
  • Dành cho Giáo viên (379 bài viết)
  • Download - Archive- Update (156 bài viết)
  • Cùng Học (93 bài viết)
  • Learning Math: Tin học hỗ trợ học Toán trong nhà trường (72 bài viết)
  • Thông tin tuyển dụng (3 bài viết)
  • School@net 15 năm (18 bài viết)
  • Mỗi ngày một phần mềm (7 bài viết)
  • Dành cho cha mẹ học sinh (114 bài viết)
  • Khám phá phần mềm (30 bài viết)
  • GeoMath: Giải pháp hỗ trợ học dạy môn Toán trong trường phổ thông (34 bài viết)
  • Phần mềm cho em (13 bài viết)
  • Tin học và Toán học (116 bài viết)
  • Phần mềm Quản lý đào tạo nhà trường (69 bài viết)
  • Làm quen với Tin học (17 bài viết)
  • Vui học đường (1 bài viết)
  • Bài học trực tuyến (60 bài viết)
  • Các vấn đề giáo dục (2 bài viết)
  • Các Thuật toán hay (1 bài viết)
  • TKBU và bài toán thời khóa biểu trường đại học (11 bài viết)
  • Xem toàn bộ bài viết (3170 bài viết)
  •  
    Đăng nhập/Đăng ký
    Bí danh
    Mật khẩu
    Mã kiểm traMã kiểm tra
    Lặp lại mã kiểm tra
    Ghi nhớ
     
    Quên mật khẩu | Đăng ký mới
    
     
    Giỏ hàng

    Xem giỏ hàng


    Giỏ hàng chưa có sản phẩm

     
    Bản đồ lưu lượng truy cập website
    Locations of visitors to this page
     
    Thành viên có mặt
    Khách: 7
    Thành viên: 0
    Tổng cộng: 7
     
    Số người truy cập
    Hiện đã có 82188048 lượt người đến thăm trang Web của chúng tôi.

    Toán 10 - Chương II - Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ

    Ngày gửi bài: 21/10/2011
    Số lượt đọc: 11849

    1. Góc giữa hai vectơ

    Cho hai vectơ đều khác vectơ .

    Từ một điểm O nào đó, ta vẽ các vectơ (h. 35):

    Khi đó:

    Số đo của góc AOB được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ , hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ .

    Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch2_h35.ggb

    Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

    Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ hoặc là vectơ thì ta xem góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 00 đến 1800).

    Rõ ràng cách xác định góc giữa hai vectơ không phụ thuộc vào việc chọn điểm O: cho nên góc giữa hai vectơ được kí hiệu là .

    ?1. Khi nào góc giữa hai vectơ bằng 00 ? Bằng 1800 ?

    1. Cho tam giác ABC vuông tại A và có (h. 36).

    Tính các góc

    Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch2_h36.ggb

    Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

    2. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

    Trong Vật lí, ta có khái niệm “công sinh bởi một lực”.

    Giả sử một lực không đổi tác dụng lên một vật làm cho vật đó di chuyển từ điểm O đến điểm O’ (h. 37).

    Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch2_h37.ggb

    Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

    Khi đó lực đã sinh ra một công A tính theo công thức

    Trong đó là cường độ lực tính bằng Niutơn (kí hiệu là N), là độ dài vectơ tính bằng mét (kí hiệu là m), là góc giữa hai vectơ . Công A được tính bằng Jun (kí hiệu là J). Như vậy J = N. m.

    Trong Toán học, giá trị A trong các biểu thức trên (không kể đơn vị đó) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ .

    Tích vô hướng của hai vectơ là một số, kí hiệu là , được xác định bởi .

    Ví dụ 1. Cho tam giác đều ABC có cạnh a và trọng tâm G (h. 38). Tính các tích vô hướng sau đây:

    Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch2_h38.ggb

    Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

    Giải. Theo định nghĩa, ta có

    ?2. Trong trường hợp nào thì tích vô hướng của hai vectơ bằng 0?

    Bình phương vô hướng

    Với vectơ tùy ý, tích vô hướng được kí hiệu là hay đơn giản hơn là và gọi là bình phương vô hướng của vectơ .

    Từ định nghĩa của tích vô hướng ta có

    Vậy

    Hécman Grat-xơ-man (Hermann Grassmann 1808 – 1877), nhà toán học Đức, là cha đẻ của tích vô hướng của hai vectơ mà ông đã kí là . Chính việc nghiên cứu thủy triều dẫn ông đến các khảo sát về vectơ.

    3. Tính chất của tích vô hướng

    ?3. Với hai số thực a và b, ta có ab = ba. Vậy với hai vectơ , ta có tính chất tương tự hay không?

    Ta có thể dễ dàng chứng minh được các tính chất 1, 2, 3. Tính chất 4 được thừa nhận, không chứng minh.

    Dùng các tính chất của tích vô hướng, ta có thể chứng minh các hệ thức sau:

    Sau đây ta chứng minh hệ thức 3. Theo tính chất phân phối ta có:

    2. Hãy chứng minh các hệ thức (1) và (2).

    ?4. Ta biết rằng với hai số thực bất kì a và b, luôn có (ab)2=a2b2. Vậy với hai vectơ bất kì , đẳng thức có đúng không ? Viết thế nào mới đúng ?

    Bài toán 1. Cho tứ giác ABCD.

    a) Chứng minh rằng:

    b) Từ câu a), hãy chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là tổng bình phương các cặp cạnh đối diện bằng nhau.

    Giải. (h. 39)

    Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch2_h39.ggb

    Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

    a) Ta có

    Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

    b) Từ a) ta có ngay:

    Bài toán 2. Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a và số k2.

    Tìm tập hợp các điểm M sao cho .

    Giải. (h. 40) Gọi O là trung điểm đoạn thẳng AB, ta có

    Do đó

    Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính .

    Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch2_h40.ggb

    Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

    Bài toán 3. Cho hai vectơ . Gọi B’ là hình chiếu của B trên đường thẳng OA. Chứng minh rằng: .

    Chứng minh.

    Nếu (h. 41a) thì

    Còn nếu (h. 41b) thì

    Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch2_h41.ggb

    Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

    Vectơ gọi là hình chiếu của vectơ trên đường thẳng OA.

    Công thức gọi là công thức hình chiếu.

    3. Hãy phát biểu bằng lời kết luận của Bài toán 3.

    Bài toán 4. Cho đường tròn (O;R) và điểm M cố định. Một đường thẳng Δ thay đổi, luôn đi qua M, cắt đường tròn đó tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng:

    Chứng minh. (h. 42) Vẽ đường kính BC của đường tròn (O ; R). Ta có là hình chiếu của trên đường thẳng MB. Theo công thức hình chiếu, ta có

    Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch2_h42.ggb

    Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

    1) Giá trị không đổi nói trong Bài toán 4 gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu là PM/(O).

    2) (h. 43) Khi điểm M nằm ngoài đường tròn (O), MT là tiếp tuyến của đường tròn đó (T là tiếp điểm), thì

    Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch2_h43.ggb

    Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

    4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

    4. Trong hệ tọa độ , cho . Tính

    Các hệ thức quan trọng

    5. Cho hai vectơ

    a) Tìm m để vuông góc với nhau.

    b) Tìm độ dài của . Tìm m để

    HỆ QUẢ

    Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm M(xM ; yM) và N(xN ; yN) là

    Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm M(-2 ; 2) và N(4 ; 1).

    a) Tìm trên trục Ox điểm P cách đều hai điểm M, N.

    b) Tính cosin của góc MON.

    Giải.

    a) Vì P thuộc trục Ox nên P có tọa độ (p ; 0). Khi đó

    MP = NP MP2 = NP2 (p + 2)2 + 22 = (p – 4)2 + 12.

    Từ đó ta được phương trình 12p = 9, suy ra:

    Vậy:

    b) Ta có . Vậy


    Câu hỏi và bài tập

    4. Trong trường hợp nào tích vô hướng có giá trị dương, có giá trị âm, bằng 0?

    5. Cho tam giác ABC. Tổng có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau: 900 ; 1800 ; 2700 ; 3600 ?

    6. Cho tam giác ABC vuông ở A và . Tính giá trị của các biểu thức sau

    7. Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh rằng:

    Từ đó suy ra một các chứng minh định lí: “Ba đường cao của một tam giác đồng quy”.

    8. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là

    9. Cho tam giác ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng

    10. Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN.

    a) Chứng minh rằng:

    b) Tính:

    theo R.

    11. Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại M. Trên a có hai điểm A và B, trên b có hai điểm C và D đều khác M sao cho . Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

    12. Cho đoạn thẳng AB cố định, AB = 2a và một số k2. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2 – MB2 = k2.

    13. Trong mặt phẳng tọa độ, cho:

    a) Tìm các giá trị của k để

    b) Tìm các giá trị của k để .

    14. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có các đỉnh A(- 4 ; 1), B(2 ; 4), C(2 ; -2).

    a) Tính chu vi và diện tích của tam giác đó.

    b) Tìm tọa độ của trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ đó hãy kiểm tra tính chất thẳng hàng của ba điểm.

    Schoolnet



    Bài viết liên quan:
    Toàn bộ chương trình sách giáo khoa môn Toán, phần Hình học lớp 12 - Nâng cao đã lên mạng với tất cả các hình ảnh động kèm theo (22/11/2011)
    Toán 12 - Chương III - Bài 5. Ôn tập cuối năm (21/11/2011)
    Toán 12- Nâng Cao - Chương III - Bài 4. Ôn Tập Chương III (19/11/2011)
    Toán 12 - Chương III - Bài 3. Phương trình đường thẳng (19/11/2011)
    Toán 12- Nâng Cao - Chương III - Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (18/11/2011)
    Toán 12 - Chương III - Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian. (18/11/2011)
    Toán 12- Nâng Cao - Chương II - Bài 5. ÔN TẬP CHƯƠNG II (17/11/2011)
    Toán 12 - Chương II - Bài 4. Mặt nón, hình nón và khối nón (17/11/2011)
    Toán 12- Nâng Cao - Chương II - Bài 3. MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ (16/11/2011)
    Toán 12 - Chương II - Bài 2. Khái niệm về mặt tròn xoay (15/11/2011)


     Bản để in  Lưu dạng file  Gửi tin qua email


    Lên đầu trang

     
    CÔNG TY CÔNG NGHỆ TIN HỌC NHÀ TRƯỜNG
     
    Phòng 804 - Nhà 17T1 - Khu Trung Hoà Nhân Chính - Quận Cầu Giấy - Hà Nội
    Phone: 024.62511017 - 024.62511081
    Email: kinhdoanh@schoolnet.vn


    Bản quyền thông tin trên trang điện tử này thuộc về công ty School@net
    Ghi rõ nguồn www.vnschool.net khi bạn phát hành lại thông tin từ website này
    Site xây dựng trên cơ sở hệ thống NukeViet - phát triển từ PHP-Nuke, lưu hành theo giấy phép của GNU/GPL.